■季節の挨拶はなくてオッケー
結論から言うと、メールでは季節の挨拶を入れなくて構いません。むしろ、入れる方が稀でしょう。例えば「初春の候、貴社ますますご清栄のこととお慶び申し上げます」といった挨拶文です。メールで書きたい内容が短いのに、いちいちこのような挨拶文が付いていれば、うっとうしいと感じてしまう人もいるのではないでしょうか。
メールのマナーでは、「相手に時間を取らせない」ことに気をつけますよね。件名を分かりやすくするとか、文章は短く、長くなるときには箇条書きを使うとか。そんな中、季節の挨拶を入れてしまうと、無駄に長くなってしまうことになります。メールの内容が謝罪や問い合わせといった場合には、挨拶をつけると文脈がちぐはぐになってしまうので、つけない方が良いでしょう。
■挨拶を目的としたメールなら、入れても支障なし
ただ、業務連絡メールではなくて、挨拶そのものを目的としたメールでは、使った方が良い場合もあります。着任の挨拶、新製品のお知らせ、年賀メールなどでは、そもそもメールを送る目的が「（季節の）挨拶」ですよね。そんなときには、メールも少し改まった書き方をした方がしっくりくるでしょう。
挨拶メールを送る相手というのは、大切な取引先ではないでしょうか。そのような相手にわざわざ挨拶をするのですから、手紙のマナーに準じた体裁にしておく方が失礼がないでしょう。もちろん、本当に手紙を書くという手もアリですね。